Verkehrsunfall mit Sachschaden - Schuldfrage ungeklärt

Hallo Community von Versichern24!

Ich stecke momentan in einer etwas verzwickten Lage:

Ich hatte einen Verkehrsunfall wo es eigentlich nur zu Sachschaden kam: mir ist wer reingefahren, Schaden entstand an seinem und an meinem Auto. Schuldfrage blieb und ist bis heute ungeklärt.
Ich bin Haftpflicht versichert + Rechtschutzversicherung.
Ich hab mich an meinen "Versicherer" (=meine Ansprechperson bei meiner Versicherung) gewandt und ihm die Sachlage, also den Schadenshergang erklärt, jedoch noch keine Versicherungsmeldung gemacht. Er meinte daraufhin dass aus seiner Sicht ich an dem Unfall schuld sei.
Ich weigere mich aber die bzw. alle Schuld auf mich zu nehmen. Da er (also mein Versicherer) das nächste Mal nicht telefonisch erreichbar war wie ich den Schaden offiziell melden wollte, ging ich den "normalen Weg" und meldete den Schaden über die Hotline der Versicherung. Dort gab man mir den Rat den Schaden gleich über den Rechtsschutz abzuwickeln da die Schuldfrage noch nicht geklärt wäre. Ich melde mich also bei der Rechtschutzabteilung dieser Versicherung und übermittle denen dort nach Rücksprache einen genauen, von mir erstellten Schadensbericht (+ dem, der am Unfallort händisch ausgefüllt wurde).

Ein paar Tage später meldet sich mein Versicherer und meint: ja, der Schaden wäre aufgenommen. Es wäre meine Angelegenheit wie ich weiter vorgehen möchte. Der nächste Schritt in meiner Vorgehensweise wäre, dass ich mir einen Anwalt nehmen sollte. Aber er würde mir keinen aus der Versicherung empfehlen, sondern ich solle mir einen externen besorgen. Das ist dann eben meine Sache.

Ich fühle mich jetzt irgendwie von meiner Versicherung hängengelassen. Ich hätte mir eigentlich erwartet, dass wenn ich davon überzeugt bin nicht die ganze Schuld zu tragen, dass ich von meiner Versicherung unterstützt werde, und die sich um alles weitere kümmern und darum kämpfen dass sie das bestmögliche für mich bzw. für die Versicherung rausholen. Aber nein: ich muss entweder die Ansprüche bei der anderen Versicherung stellen oder ich muss mich selbst um einen Anwalt umschauen und den beauftragen.
Erwarte ich vielleicht zuviel von einer Versicherung? Ist es wirklich nicht deren Angelegenheit mir zu helfen wenn ich Schadensansprüche bei einer anderen Versicherung geltend machen möchte?

Ich vermute dass mein Versicherer etwas eingeschnappt ist, weil ich die Haushaltsversicherung nach einem Versicherungsvergleich nicht bei ihm sondern bei einer anderen Versicherung abgeschlossen habe.

Wie wäre wirklich die beste Vorgehensweise?
Den Schaden an meinem Auto hab ich von einem Sachverständigem über eine Werkstatt begutachten lassen. Das Ergebnis dass da rausgekommen ist, wer erhält das? Erfahre ich davon auch? Ob mein Unfallgegner Ansprüche stellt weiß ich (noch) nicht. In welchem Stadium erfahre ich davon? Kann ich dann noch immer einen Rechtsanwalt einschalten?

Für einen hilfreichen Tipp wär ich sehr dankbar!

Mit freundlichen Grüßen,

Ratlos